Теория матриц

Предисловие автора к первому изданию
Предисловие редактора ко второму изданию
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД ними
§ 1. Матрицы. Основные обозначения
§ 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц
§ 3. Квадратные матрицы
§ 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной
матрицы
§ 5. Обращение прямоугольных матриц.
Псевдообратная матрица
ГЛАВА II. АЛГОРИТМ ГАУССА И НЕКОТОРЫЕ ЕГО
ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. Метод исключения Гаусса
§ 2. Механическая интерпретация алгоритма
Гаусса
§ 3. Детерминантное тождество Сильвестра
§ 4. Разложение квадратной матрицы на
треугольные множители
§ 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника
оперирования с блочными матрицами. Обобщенный
алгоритм Гаусса
ГЛАВА III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В n-МЕРНОМ
ВЕКТОРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Векторное пространство
§ 2. Линейный оператор, отображающий га-мерное
пространство в m-мерное . . .
§ 3. Сложение и умножение линейных операторов
§ 4. Преобразование координат
§ 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора.
Неравенства Сильвестра
§ 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное
пространство само в себя . . .
§ 7. Характеристические числа и собственные
векторы линейного оператора . . .
§ 8. Линейные операторы простой структуры
ГЛАВА IV. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ И МИНИМАЛЬНЫЙ
МНОГОЧЛЕНЫ
МАТРИЦЫ
§ 1. Сложение и умножение матричных многочленов
§ 2. Правое и левое деления матричных
многочленов. Обобщенная теорема Везу .
§ 3. Характеристический многочлен матрицы.
Присоединенная матрица
§ 4. Метод Д.К. Фаддеева одновременного
вычисления коэффициентов характеристического
многочлена и присоединенной матрицы
§ 5. Минимальный многочлен матрицы
ГЛАВА V. ФУНКЦИИ МАТРИЦЫ
§ 1. Определение функции матрицы
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа-
Сильвестра
§ 3. Другие формы определения /(А). Компоненты
матрицы А
§ 4. Представление функций матриц рядами
§ 5. Некоторые свойства функций от матриц
§ 6. Применение функций от матрицы к
интегрированию системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
§ 7. Устойчивость движения в случае линейной
системы
ГЛАВА VI. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
МНОГОЧЛЕННЫХ МАТРИЦ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ
§ 1. Элементарные преобразования многочленной
матрицы
§ 2. Канонический вид А-матрицы
§ 3. Инвариантные многочлены и элементарные
делители многочленной матрицы
§ 4. Эквивалентность линейных двучленов
§ 5. Критерий подобия матриц
§ 6. Нормальные формы матрицы
§ 7. Элементарные делители матрицы f(A)
§ 8. Общий метод построения преобразующей
матрицы
§ 9. Второй метод построения преобразующей
матрицы
ГЛАВА VII СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В
п-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ДЕЛИТЕЛЕЙ)
§ 1. Минимальный многочлен вектора,
пространства (относительно заданного линейного
оператора)
§ 2. Расщепление на инвариантные
подпространства с взаимно простыми
минимальными многочленами
§ 3. Сравнения. Надпространство
§ 4. Расщепление пространства на циклические
инвариантные подпространства .
§ 5. Нормальная форма матрицы
§ 6. Инвариантные многочлены. Элементарные
делители
§ 7. Нормальная жорданова форма матрицы
§ 8. Метод А.Н. Крылова преобразования векового
уравнения
ГЛАВА VIII. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§1. Уравнение АХ - ХВ
§ 2. Частный случай: А = В. Перестановочные
матрицы
§ 3. Уравнение АХ - ХВ - С
§ 4. Скалярное уравнение f(X) = 0
§ 5. Матричное многочленное уравнение
§ 6. Извлечение корня т-й степени из
невырожденной матрицы
§ 7. Извлечение корня т-й степени из вырожденной
матрицы
§ 8. Логарифм матрицы
ГЛАВА IX. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Общие соображения
§ 2. Метризация пространства
§ 3. Критерий Грама линейной зависимости
векторов
§ 4. Ортогональное проектирование
§ 5. Геометрический смысл определителя Грама и
некоторые неравенства
§ 6. Ортогонализация ряда векторов
§ 7. Ортонормированный базис
§ 8. Сопряженный оператор
§ 9. Нормальные операторы в унитарном
пространстве
§ 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных
операторов
§ 11. Неотрицательные и положительно
определенные эрмитовы операторы
§ 12. Полярное разложение линейного оператора в
унитарном пространстве. Формулы Кэли
§ 13. Линейные операторы в евклидовом
пространстве
§ 14. Полярное разложение оператора и формулы
Кэли в евклидовом пространстве
§ 15. Коммутирующие нормальные операторы
§ 16. Псевдообратный оператор
ГЛАВА X. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
§ 1. Преобразование переменных в квадратичной
форме
§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме
квадратов. Закон инерции
§ 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной
формы к сумме квадратов. Формула Якоби
§ 4. Положительные квадратичные формы
§ 5. Приведение квадратичной формы к главным
осям
§6. Пучок квадратичных форм
§ 7. Экстремальные свойства характеристических
чисел регулярного пучка форм
§ 8. Малые колебания системы с п степенями
свободы
§ 9. Эрмитовы формы
§ 10. Ганкелевы формы
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛАВА XI КОМПЛЕКСНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ,
КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
МАТРИЦЫ
§ 1. Некоторые формулы для комплексных
ортогональных и унитарных матриц .
§ 2. Полярное разложение комплексной матрицы
§ 3. Нормальная форма комплексной
симметрической матрицы
§ 4. Нормальная форма комплексной
кососимметрической матрицы
§ 5. Нормальная форма комплексной ортогональной
матрицы
ГЛАВА XII. СИНГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ МАТРИЦ
§ 1. Введение
§ 2. Регулярный пучок матриц
§ 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении
§ 4. Каноническая форма сингулярного пучка
матриц
§ 5. Минимальные индексы пучка. Критерий
строгой эквивалентности пучков .
§ 6. Сингулярные пучки квадратичных форм
§ 7. Приложения к дифференциальным уравнениям
ГЛАВА XIII. МАТРИЦЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ
§ 1. Общие свойства
§ 2. Спектральные свойства неразложимых
неотрицательных матриц
§ 3. Разложимые матрицы
§ 4. Нормальная форма разложимой матрицы
§ 5. Примитивные и импримитивные матрицы
§ 6. Стохастические матрицы
§7. Предельные вероятности для однородной цепи
Маркова с конечным числом
состояний
§ 8. Вполне неотрицательные матрицы
§ 9. Осцилляционные матрицы
ГЛАВА XIV РАЗЛИЧНЫЕ КРИТЕРИИ РЕГУЛЯРНОСТИ И
ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
§ 1. Критерий регулярности Адамара и его
обобщения
§ 2. Норма матрицы
§ 3. Распространение критерия Адамара на
блочные матрицы
§ 4. Критерий регулярности Фидлера
§ 5. Круги Гершгорина и другие области
локализации
ГЛАВА XV ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МАТРИЦ К
ИССЛЕДОВАНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Системы линейных дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами. Общие
понятия
§ 2. Преобразование Ляпунова
§ 3. Приводимые системы
§ 4. Каноническая форма приводимой системы.
Теорема Еругина
§ 5. Матрицант
§ 6. Мультипликативный интеграл.
Инфинитезимальное исчисление Вольтерра . .
§ 7. Дифференциальные системы в комплексной
области. Общие свойства
§ 8. Мультипликативный интеграл в комплексной
области
§ 9. Изолированная особая точка
§ 10. Регулярная особая точка
§ 11. Приводимые аналитические системы
§ 12. Аналитические функции многих матриц и их
применение к исследованию дифференциальных
систем. Работы И. А. Лаппо-Данилевского
ГЛАВА XVI. ПРОБЛЕМА РАУСА-ГУРВИЦА И СМЕЖНЫЕ
ВОПРОСЫ
§ 1. Введение
§ 2. Индексы Коши
§ 3. Алгоритм Рауса
§ 4. Особые случаи. Примеры
§ 5. Теорема Ляпунова
§ 6. Теорема Рауса-Гурвица
§ 7. Формула Орландо
§ 8. Особые случаи в теореме Рауса-Гурвица
§ 9. Метод квадратичных форм. Определение
числа различных вещественных корней многочлена
§ 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного
ранга
§ 11. Определение индекса произвольной
рациональной дроби через коэффициенты
числители и знаменателя
§ 12. Второе доказательство теоремы Рауса-
Гурвица
§ 13. Некоторые дополнения к теореме Рауса-
Гурвица. Критерий устойчивости Лье-
нара и Шипара
§ 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица.
Теорема Стилтьеса. Представление
многочленов Гурвица при помощи непрерывных
дробей
§ 15. Область устойчивости. Параметры Маркова
§ 16. Связь с проблемой моментов
§ 17. Связь между определителями Гурвица и
определителями Маркова
§ 18. Теоремы Маркова и Чебышева
§ 19. Обобщенная задача Рауса-Гурвица
ДОБАВЛЕНИЕ. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ И
СИНГУЛЯРНЫХ
ЧИСЕЛ (В. Б. Лидский)
§ 1. Мажорирующие последовательности
§ 2. Неравенства Неймана-Хорна
§ 3. Неравенства Вейля
§ 4. Максимально-минимальные свойства сумм и
произведений собственных чисел эрмитовых
операторов
§ 5. Неравенства для собственных и сингулярных
чисел сумм и произведений операторов
*.
§ 6. Другая постановка задачи о спектре суммы и
произведения эрмитовых операторов
Примечания
Список литературы
Предметный указатель